Este tema es casi todo geométrica y es fácil de interpetar a diferencia de integrales de línea. Humildemente opino que es necesario hacer la mayor cantidad ejercicios ya que ayudan a tener fundamento sólido para los temas que siguen.
A la hora de resolver ejercicios recomiendo encontrar un patrón de resolución. Recomiendo también hacer los gráficos del región a integrar y sus respectivas transformaciones y entender las transformaciones no sólo las fórmulas.
Tabla de contenidos
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Videos para familiarizar conceptos
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Otra buena visualización (En minuto 4:50 muestra una forma de interpretar integrales dobles como no lo había pensado antes)
Conceptos interesantes
Orden de integración
En clase vemos que existen regiones tipo 1 y tipo 2 (que se clasifican según el eje dependiente), pero también existen los mixtos combinados que cumplen con los dos (un región de 3 vértices por ejemplo) los cuales se pueden cambiar orden de integración y da el mismo resultado.
Pero realmente qué es lo que estoy haciendo cuando invierto orden de integración?
Conceptualmente y geométricamente hablando, cambiando el orden de integración afecta la en cómo llenar el área que estoy calculando.
Un ejemplo de ver esto es con integral dobles y coordenadas polares:
\[\iint_{D} 1 \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \, dr \, d\theta\]1. Integrar primero \(r\) y después \(\theta\)
Lo que estoy haciendo es recorrer un segmento \(r\) desde \(r=0\) hasta \(r=R\), y luego hacer que el segmento dé una vuelta (\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)). Así la suma de cada longitud del segmento dando una vuelta, me da el área del círculo buscado.
2. Integrar primero \(\theta\) y después \(r\)
Acá lo que se hace primero es calcular la longitud (perímetro) de una circunferencia de radio \(r=0\) e ir sumando todas las longitudes circunferencias hasta \(r=R\). Y así se obteine el área del círculo buscado.